Al-Khawarizmi

Rabu, 25 Agustus 2010

*) Nama lengkapnya adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi. Namanya dikaitkan
dengan tempat kelahirannya yaitu Khwarizm. Khawarizm adalah sebuah daerah di sebelah timur laut
Kaspia. Lokasi ini berdekatan dengan delta sungai Amu Dar'ya di atas laut Aral. Al-khawarizmi hidup
antara tahun 800-847 M. Al-khawarizmi diperkirakan hidup di pinggiran kota Baghdad pada masa
khalifah al-Ma'mun.
*) Karya al-Khawarizmi yang berjudul "Kitab al-jabr w'al-Muqabala" (The book of Restoring and
Balancing) menjadi titik awal aljabar dalam dunia islam. Kata aljabar juga digunakan di dunia barat untuk
objek yang sama. Para sejarawan matematika merasa bahwa al-Khawarizmi layak disebut sebagai
"Bapak Ilmu Aljabar". Para sejarawan meyakini bahwa kitab al-jabr w'al muqabala merupakan buku
pertama dalam sejarah di mana istilah aljabar muncul dalam konteks disiplin ilmu.
*) Pengaruh lain yang berkaitan erat dengan ilmu matematika adalah suku kata "algoritm" yang dinotasikan
sebagi prosedur baku dalam menghitung sesuatu. Kata ini berasal dari perubahan versi al-Khawarizmi ke
versi latin "algorismi, algorism" dan akhirnya menjadi "al-gorithm"
*) Karya aritmatika al-Khawarizmi berjudul "Kitab al-jam wa'l-tafriq bi-hisab al-hid" kemungkinan ditulis
setelah beliau mengerjakan karya fenomenalnya Algebra.
Buku ini merupakan buku pelajaran pertama yang ditulis dengan menggunakan sistem bilangan desimal.
*) Di dunia barat, ilmu matematika lebih banyak dipengaruhi oleh karya al-Khawarizmi dibandingkan karya
penulis lainnya pada abad pertengahan. Masyarakat modern berutang budi pada al-Khawarizmi dalam hal
penggunaan angka arab.


Ibn Al-Haythami

*) Nama lengkapnya adalah Abu Ali-Hasan Ibn Al-Hasan Al-Haythami. Di belahan dunia barat dikenal
dengan nama Alhazen. Ia dilahirkan di Basra pada tahun 965. Ia wafat tahun 1039 di dekat masjid al-
Azhar Cairo.
*) Dalam salah satu tulisannya, ia mengungkapkan argumennya yang didasarkan pada pernyataan benar
namun belum terbukti bahwa tiap nilai prima P membagi (P - 1)! + 1. Ia juga memberikan metoda dan
prosedur guna membangun kotak magis dengan ukuran tak tertentu. Dalam tulisannya, Ibn al-Haytham
menganalisis nilai mutlak. Ia membuktikan bahwa jika (2 pangkat n+1) -1 merupakan bilangan prima,
maka 2 pangkat n kali P adalah nilai mutlak.
*) Dalam tulisannya yang berjudul A Solid Arithmetical Problem , ia berhasil memecahkannya dengan
bidang kerucut. Berikut ini adalah masalahnya: diberikan sebuah bilangan k untuk mencari bilangan x lain
sedemikian sehingga x pangkat 3 + x = k.
*) Ibn Al-Haytham juga sibuk dengan postulat kelima dari Euclid: "Jika sebuah garis lurus memotong dua
garis lurus lainnya, membentuk sudut bagian dalam pada sisi yang sama akan lebih kecil dari dua sudut
siku-sikunya, kedua garis lurus yang menghasilkan jumlah tak terbatas akan bertemu pada sisi kedua
sudut yang lebih kecil dari kedua sudut siku-siku.
*) Berikut ini adalah sebagian karya geometri yang berhubungan dengan Elemen Euclid yang telah dikerjakan
oleh al-Haytham:
a) Komentar dan perantara tentang Elemen
b) Koleksi Elemen Geometri dan Eritmetika yang diambil dari tulisan Euclid dan Apollonius.
c)


Pythagoras

Pythagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.


Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan perjalanan, diantaranya ke Mesir. Perjalanan Pythagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. Konon, karena kecerdasannya yang luar biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk menerima Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe. Disini ia belajar berbagai macam misteri. Selain itu, Pythagoras juga berguru pada imam-imam Caldei untuk belajar Astronomi, pada para imam Phoenesia untuk belajar Logistik dan Geometri, pada para Magi untuk belajar ritus-ritus mistik, dan dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia belajar teori perlawanan.



Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Pythagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Pythagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan “Kaum Pythagorean.”



Kaum Pythagorean



Kaum Pythagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiran-pemikiran Pythagoras. Semboyan mereka yang terkenal adalah “authos epha, ipse dixit” (dia sendiri yang telah mengatakan demikian).2 Kaum ini diorganisir menurut aturan-aturan hidup bersama, dan setiap orang wajib menaatinya. Mereka menganggap filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai jalan hidup, sarana supaya setiap orang menjadi tahir, sehingga luput dari perpindahan jiwa terus-menerus.

Diantara pengikut-pengikut Pythagoras di kemudian hari berkembang dua aliran. Yang pertama disebut akusmatikoi (akusma = apa yang telah didengar; peraturan): mereka mengindahkan penyucian dengan menaati semua peraturan secara seksama. Yang kedua disebut mathematikoi (mathesis = ilmu pengetahuan): mereka mengutamakan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu pasti.



Pemikiran Pythagoras



Pythagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Angka bukan anasir alam. Pada dasarnya kaum Pythagorean menganggap bahwa pandangan Anaximandros tentang to Apeiron dekat juga dengan pandangan Pythagoras. To Apeiron melepaskan unsur-unsur berlawanan agar terjadi keseimbangan atau keadilan (dikhe). Pandangan Pythagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur, melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan kata lain tata tertib terjadi melalui angka-angka.



Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis.



Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa akar kuadrat hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, Pythagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus



TEOREMA PYTHAGORAS





Pengertian Teorema Pythagoras



“Teorema Pythagoras” dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teoroma ini.Akan tetapi banyak, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segitiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.Theoroma Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika.Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, dimana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar.Teoroma ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides diantara tiga sisi dari segi tiga siku-siku.Hal ini menyatakan bahwa ‘jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusanya’.



Secara sistematis, teoroma ini biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2, dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusnya (sisi miring).



Sejarah Pythagoras



Matematikawan yang namanya terkenal karena teorema mengenai segitiga siku-siku ini memulai pengembaraannya setelah mendapat anjuran Thales, matematikawan dari Miletus.pengembaraan Pythagoras untuk mengembangkan matematika mengantarkan ia pada para pendeta Zoroaster yang memelihara pengetahuan matematika Mesopotamia dibawah kerajaan Persia.



Seusai dari pengembarannya, Pythagoras mendirikan perguruan yang mendalami agama dan matematika di Krotona,kota koloni Yunani.Salah satu ajaran dari perguruan ini adalah tidak membubuhkan nama sendiri pada setiap tulisan tetapi nama persaudaraan Pythagoras.hasil yang paling diingat dari perguruan ini adalah teoroma pythagoras yang menyatakan kuadrat sisi miring pada segitiga siku-siku merupakan penjajahan dari kuadrat sisi lainnya.



Sejarah dari teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut :



Pengetahuan dari Triple Pythagoras

Hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan

Bukti dara teorema

Sekitar 4000 tahun yang lalu,orang Babilona dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang 3, 4,dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku.mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali kedalam 12 bagian yang sama,seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3,sisi kedua adalah 4,dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.



Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat.Bartel Leendert van der Waerden menghipotesiskan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM),tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Triple Pythagoras. Di India (abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi),terdapat Baudhayana Sutra yang terdiri dari daftar Triple Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.



Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Tomas L. Heath, tidak ada penelitian sebab dari teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teoroma ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencapai Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, eleman Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teoroma tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teoroma Pythagoras atau disebut dengan “Gougo Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4,dan 5. Selama Dinasti han (202-220 SM). Tripel Pythagoras muncul di sembilan bab pada seni matematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teoroma barada di Cina sebagai ‘Teorem Gougu’, dan India dinamakan “Bhaskara Teorem”.



Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah pythagoras adalah orang pertama yang menamukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, kaena tidak ada teks yang ditulis olehnya ditemukan. Walaupun demikian, nam Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.



Masa kecil Pythagoras



Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani Selatan sekitar 580SM (SebelumMasehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno),dimana salah satunya adalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa satu pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapa mil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu : Ephesus. Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua mengenalkan mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes. Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekides. Pythagoras menetap disana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.



Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka ?



Angka adalah “dewa”



Matemateka dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa : angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, anka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angaka genap adalah wanita dan angka ganjil atau gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadaa angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.



Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barang kali – dikemudian hari , mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika”. Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yan jelas matematika lebih sulit untuk dipahami. Hubungan matematika dengan musik sangat dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajaiban” pentagram. Bentuk segi lima yang makin lama makin kecil sampai tak terhinnga.



Pythagoras sebagai pemusik



Pythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pamain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama : nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingakan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah ¾ dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu dan fals. Baginya harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada berbagai keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proposi mengendalikan keindahan musik, keindahan fisik dan keanggunan matematika. Contoh : sebuah tali panjang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah. Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara, instrumental maupun vokal dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dab dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quqlity terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto “angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.



Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)



Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang karismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah. Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas. Nisbah-nisbah adalah kunci-kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilih proposi kedalam sepuluh kategori berbeda yan disebut titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling cantik di dunia : nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi tetapi sesuatu yang terinspirasi dari nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sanat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandun nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Anthena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontuksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia barat pula.



Cacat pada Doktrin Pythagorean



Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Sustu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus : a2 + b2 = c2. Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bila bilangan irrasional adalah “ Bom Waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani.



Nisbah dari dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karna dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu kedalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari adalah konsekuensi matematikawan Yunani.



Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dari geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain dengan rumus Pythagoras, yaitu v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.



Hippasus menyangkal



Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hipassus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hipassus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hipassus ditenggelamkan dilaut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumberlain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hipassus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.



Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hipassus mengguncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menganggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemaripandangan mereka tentang alam semesta.



Meninggalnya Pythagoras



Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya keluar dari rumah terbakar dan lari ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Masa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pebgikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tertapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan : Pythagoras dihukum pancung di muka umum. Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu betahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional


Zeno

Zeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan “khusus” dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan.


Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia – konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus “mengganggu” pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.



Latar belakang

Parmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam.

Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno – lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak.

Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580 – 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.

Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika.



Matematikawan “hitam”

Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan “hitam” dan matematikawan “putih.”

Duel “aliran” tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka.

Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 – 1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind (1831 – 1916) dan Cantor (1845 – 1918).



Paradoks Zeno

Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.



1. Dikhotomi

Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.



2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura

Achilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.

Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.



3. Anak panah

Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.



4. Stadion

Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.



Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:

AAAA: urutan berhenti

BBBB: urutan bergerak ke kiri

CCCC: urutan bergerak ke kanan

Semuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.



Posisi I Posisi II



A A A A A A A A

B B B B B B B B

C C C C C C C C



Posisi I:

Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama.

Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh?





Pemecahan modern

Semua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. “Senjata” filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah?

Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit).

Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.



Dua paradoks tambahan

Tidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya.



5. Paradoks tentang tempat

Paradoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.



6. Paradoks tentang bulir gandum

Apabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.





Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidup

Karena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya.

Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan.





Sumbangsih

Jasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran ‘tembak’ Zeno adalah pluraliti dan gerak – sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal – selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat.

Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang “membedah” suatu benda sampai tingkat atom.


Euclid (325 – 265 SM)

Selasa, 24 Agustus 2010

Riwayat

Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM.

Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.

Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.



Universitas Ptolemy

Ptolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.

Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.

Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.



Pribadi Euclid

Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani.

Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.

Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.



Karya besar Euclid

The Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.



Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas

Buku II : Aljabar geometri

Buku III : Teori-teori tentang lingkaran

Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung

Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak

Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri

Buku VII : Dasar-dasar teori angka

Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka

Buku IX : Teori angka

Buku X : Klasifikasi

Buku XI : Geometri tiga dimensi

Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk

Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)



Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..



1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya.

2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.

3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda.

4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.

5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.

(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)



Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.

Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.



Cacat pada postulat Euclid

Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.

Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).



Tiga problem matematika klasik

Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:



1. Persamaan pangkat 3



4x³ - 3x - a = 0



a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).





2. Menggandakan kuadrat



2x³ = y³ atau x³ = 2.



Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.

Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.



3. Menggambar lingkaran.

Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).



Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.



Euclid dan bilangan prima

Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.

Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.

Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).



Kondisi sekarang

Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.

Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.



Masa tua Euclid

Pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.





* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.





Sumbangsih

Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.

Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.

Archimedes (287 – 212 SM)

Riwayat

Archimedes adalah seorang arsitokrat. Archimedes adalah anak astronom Pheidias yang lahir di Syracuse, koloni Yunani yang sekarang dikenal dengan nama Sisilia. Dia mempunyai hubungan keluarga dengan tiran (raja) Hieron II yang berkuasa di Syracuse pada jaman itu. Archimedes berteman dengan Gelon, anak Hieron II, dimana keduanya adalah matematikawan andalan raja. Membicarakan Archimedes tidaklah lengkap tanpa kisah insiden penemuannya saat dia mandi. Saat itu dia menemukan bahwa hilangnya berat tubuh sama dengan berat air yang dipindahkan. Dia meloncat dari tempat mandi dan berlari terlanjang di jalanan Syracuse sambil berteriak “Eureka, eureka!” (saya sudah menemukan, saya sudah menemukan). Saat itulah Archimedes menemukan hukum pertama hidrostatik. Kisah di atas diawali oleh tukang emas yang tidak jujur dengan mencampurkan perak ke dalam mahkota pesanan Hieron. Hieron curiga dan menyuruh Archimedes untuk memecahkan problem tersebut atau melakukan pengujian tanpa merusak mahkota. Rupanya saat mandi tersebut, Archimedes memikirkan problem tersebut. Tentang nasib tukang emas itu sendiri tidak ada yang mengetahuinya.



Masa sekolah

Saat muda usia dia menuntut ilmu di Alexandria, Mesir. Pada saat itu dia menjalin persahabatan dengan dua orang “istimewa.” Teman pertama, Conon adalah matematikawan berbakat yang sangat dihormati Archimedes baik secara pribadi maupun intelektual. Teman kedua, Eratosthenes *), juga seorang matematikawan sekaligus astronom, meski mempunyai “kelainan” yaitu: suka bersolek. Dengan kedua teman ini, teristimewa Conon, Archimedes dapat berbagi pemikiran dan berdiskusi. Akhirnya, Conon meninggal dan surat menyurat antar keduanya digantikan oleh Dositheus, murid Conon.

Tahun 1906, J.L. Heiberg, membuat penemuan dramatis di Konstantinopel yaitu: “surat” Archimedes kepada Erastosthenes: Theorema mekanikal, suatu metode. Dalam suratnya ini, Archimedes mengukur berat, dalam imajinasi, guna menghitung luas atau mengetahui volume (isi) sesuatu yang tidak diketahui lewat sesuatu yang diketahui, dia merintis ilmu pengetahuan berdasar penggalian fakta; fakta ini digunakan sebagai pembanding untuk kemudian dibuktikan secara matematis.

Ada versi lain yang menyebut bahwa Archimedes diperkirakan berguru pada murid Euclid. Archimedes dapat disebut sebagai matematikawan sekaligus fisikawan pertama, dimana selain menemukan “mesin perang”, alat-alat mekanis serta pompa air untuk mengangkat air sungai Nil guna mengairi (irigasi) tanah-tanah di seluruh negeri.



Sifat eksentrik Archimedes

Dalam hal eksentrik Archimedes sering dibandingkan dengan Weierstrass (1815 – 1897). Menurut penuturan saudarinya, Weierstrass – pada waktu sekolah, tidak pernah diberi kepercayaan untuk memegang pinsil. Apabila memegang pinsil, maka dia akan menggambari apapun yang dianggapnya masih kosong. Dari wallpaper sampai balik kerah baju. Sebaliknya, Archimedes - belum mengenal kertas, selalu menggambar di pasir atau tanah yang lembek sebagai ganti fungsi “papan tulis.” Dia akan menggambar sesuka hatinya. Apabila duduk di dekat perapian, dia akan mengambil arang atau sisa pembakaran dan digunakan untuk menggambar. Setelah mandi, biasanya dia akan melumuri seluruh tubuhnya dengan minyak zaitun, yang lazim dipakai pada jaman itu, daripada mengenakan pakaian, dia akan menggambar diagram-diagram dengan menggunakan jari kuku dengan “papan tulis” adalah seluruh tubuhnya yang berminyak. Ada sifat yang lazim diidap oleh para matematikawan seperti: lupa makan. Sifat lupa makan Archimedes, saat menekuni problem matematika, ternyata diwariskannya kepada [Isaac] Newton dan [William Rowan] Hamilton.



Archimedes terlibat perang

Saat ini Romawi adalah kerajaan dengan banyak pejabatnya korup. Di Mediteranian, sekarang Tunisia, dan kota Carthage, muncul dan menjadi penguasa dengan koloni meliputi wilayah sepanjang pantai Afrika sampai Spanyol. Romawi merasa iri hati dan menyerbu. Dua kali serangan yang disebut dengan perang Punic, mampu menaklukkan Carthage. Tetapi tidak lama kemudian, Carthage mampu bangkit kembali, sehingga memaksa Romawi kembali melancarkan serangan, perang Punic ketiga. Kali ini, tentara Romawi tidak memberi ampun lagi. Begitu dapat menaklukkan, mereka menghancurkan kota dan membunuhi para penghuninya (146 SM).

Di atas adalah latar belakang terjadinya perang Punic. Selama perang Punic ini, Romawi mengirim pasukan di bawah komando Claudius Marcellus pada tahun 214 SM untuk menyerang Syracuse. Alasan utamanya adalah karena raja Syracuse menjalin hubungan dengan Carthage; alasan lain, tentara Romawi selalu dapat menaklukkan wilayah kecil dengan mudah. Tetapi saat ini mereka ketemu batunya.

Tentara Romawi menyerbu Syracuse dari segala penjuru, daratan dan lautan, terhadang oleh rekayasa sains; tidak canggih namun cerdik. Penduduk Syracuse sudah diajari bagaimana menggunakan tuas (lever) dan berbagai macam bentuk pelontar, dan mereka menerapkan kemampuan ini pada perang di darat maupun di laut. Tentara Romawi dipaksa mundur dan lari lintang-pukang di bawah hantaman “badai” batu dan panah yang dilontarkan oleh ketapel-ketapel buatan Archimedes. Belum lagi adanya serangan dari pelontar tali berisi peluru dan busur kecil (crossbow) yang menembakkan anak panah besi.

Serangan pasukan Romawi lewat laut, hasilnya tidak jauh berbeda, hampir semua armada kapal perang mereka hancur. Besi-besi besar dijatuhkan oleh pasukan Syracuse lewat derek (crane) yang dibangun, mampu menenggelamkan kapal-kapal Romawi. Derek lain digunakan mengangkat kapal-kapal Romawi dan pasukan-pasukan berebut menyelamatkan diri dengan terjun ke laut. Masih ditambah dengan cermin pembakar, maka lengkaplah “derita” kapal-kapal Romawi. Seorang tua menciptakan cermin heksagonal dan di sela-sela cermin berukuran proporsional tersebut dipasang empat cermin segi empat, digerakkan dengan besi yang dibentuk seperti engsel jaman modern, diarahkan ke matahari. Berkas sinar yang dipantulkan oleh cermin-cermin tersebut diarahkan ke kapal, menimbulkan api dan kapal terbakar. Pengoperasian cermin dilakukan dari ketinggian di tengah kota oleh seorang lelaki tua.

Siasat lain mulai dicari. Tentara Romawi mencoba membangun tembok di luar tembok kota, namun tidak pernah selesai dibangun. Muasalnya adalah derek dengan bandulan besi berputar mengelilingi kota Syracuse untuk menghancurkan tembok-tembok tersebut sekaligus menghalau pasukan Romawi yang akan maju.

Gagal dengan serangan frontal, Marcellus menggunakan cara lain. Saat penduduk Syracuse merayakan kemenangan, diselimuti oleh gelapnya malam, dikirimlah mata-mata (Buku legendaris “Seni Berperang” Sun Tzu – hidup 500 SM, tentang penggunaan mata-mata, bab 13, bab terakhir, barangkali mengilhami atau barangkali ide dari perang Troya dengan taktik kuda Troya) untuk menghancurkan “monster-monster” ciptaan Archimedes dan membuka pintu gerbang kota. Perang berlangsung selama 3 tahun, sebelum Romawi dapat mengalahkan si kecil cerdik, Syracuse.



Penemuan-penemuan Archimedes

Minat Archimedes adalah matematika murni: bilangan, geometri, menghitung luas bentuk-bentuk geometri. Archimedes dikenal karena kehebatannya mengaplikasikan matematika. Kehebatan inilah yang akan diuraikan di bawah ini.

Archimedes berjasa menemukan ulir Archimedes, alat untuk mengangkat air dengan jalan memutar gagang alat ini dengan tangan. Penggunaan awal alat ini adalah untuk membuang air yang masuk ke dalam perahu atau kapal. Tapi dalam perkembangannya digunakan untuk memompa air dari dataran yang lebih rendah ke tanah yang lebi tinggi. Alat ini sampai sekarang masih dipakai oleh para petani di seluruh dunia.

Penggunaan cermin pembakar, memberi indikasi bahwa beberapa bentuk geometri sudah diketahui Archimedes, teristimewa bentuk hiperbola. Bentuk lingkaran, elips dan hiperbola terbentuk hanya bagaimana cara kita mengiris suatu bidang. Parabola adalah bentuk istimewa: dapat “mengambil” sinar matahari, dari arah manapun, dan difokuskan pada suatu titik, dan konsentrasikan semua energi cahaya pada bidang sempit untuk dipancarkan kembali dalam berkas sinar yang sangat panas.

Archimedes sudah mencoba menghitung luas parabola, elips, hiperbola dan menentukan titik pusat gravitasi pada setengah lingkaran dan lingkaran. Tidak diketahui secara pasti berapa banyak karya-karya Achimedes yang hilang atau belum ditemukan satu yang terpenting, Metode (The Method, sebagian besar sudah ditemukan pada tahun 1906), tapi karya lain termasuk: On Spiral, On the Measuremant of the Circle, Quadrature of the Parabola, on Conoids & Spheroids, on the Sphere & Cylinder, Books of Lemmas dll. tidak sesuai dengan segala sesuatu yang dihasilkan Archimedes pada jaman Romawi.

Archimedes adalah orang pertama yang memberi metode menghitung besar ? (pi) dengan derajat akurasi yang tinggi. Menghitung besar ? dilakukan dengan cara membuat lingkaran diantara dua segi enam. Luas segi enam kecil < luas lingkaran < luas segi enam besar. Dengan memperbesar jumlah segi - Archimedes membuat 96 sisi, diperoleh besaran: 3 10/71 < Л < 3 1/7 (3,14084 < Л < 3,14285) Dalam menghitung ?, jaman modern, para matematikawan mengikuti jejak Archimedes. Sebagai contoh, pada abad 17, Ludolph van Ceulen dari Jerman, menggunakan segi 262. Upaya gigih guna mencari besaran ? ini dilakukannya sampai dia meninggal. Jadi tidaklah mengherankan, apabila orang Jerman – untuk menghormati jasa, pada nisan dipahat “Angka Ludolphian” yang berarti ? di Jerman. Penggunaan tuas dalam perang dengan menciptakan crane, menunjuk bahwa Archimedes sudah memahami prinsip tuas, yaitu: dua benda yang mencapai keseimbangan berat pada suatu jarak tertentu memiliki besar yang proporsional secara timbal-balik. Archimedes meninggal

Apabila pada tahun-tahun sebelumnya, penemuan-penemuan Archimedes selalu membuat pasukan Romawi frustrasi. Mereka tidak dapat menaklukan Syracuse untuk dijadikan koloni. Alat-alat mekanik ciptaan Archimedes selalu dapat mementahkan dan menghancurkan semua serangan mereka. Salah satu kisah menarik adalah tentang Archimedes dalam perang ini adalah menciptakan “cermin-cermin pembakar” yang mampu membakar kapal-kapal Romawi dari kejauhan. Tahun 212 SM, Syracuse akhirnya jatuh ke tangan Romawi, setelah terjadi penyusupan di malam hari.

Singkat kata, Marcellus dengan didampingi para prajuritnya mendatangi pencipta alat yang membuat semua petaka bagi tentara Romawi. Saat itu Archimedes sedang menggambar diagram di pasir. Pikiran dan matanya hanya terpusat pada diagram-diagram yang digambarnya. Tidak memperdulikan sekelilingnya. Marcellus dan prajurit pengikutnya diam mengamati sampai akhirnya seorang prajurit kehilangan kesabaran. Seorang prajurit Marcellus datang menghampiri dan memerintahkan agar Archimedes segera menghadap komandan mereka, namun dia tidak menuruti perintah dan baru akan menghadap setelah menyelesaikan problem dan memberikan pembuktiannya.

Kesabaran prajurit itu habis dan maju untuk menangkap Archimedes. “Jangan sentuh lingkaran-lingkaran yang saya buat!” adalah teriakan terakhir Archimedes ketika prajurit itu menginjak gambar diagram di atas pasir. Prajurit yang tidak diketahui namanya itu marah, menghunus pedang dan membunuh Archimedes yang sudah berusia 75 tahun.



*) Eratoshenes (273 – 192 SM) melakukan penghitungan diameter bumi pada tahun 230 SM. Dia menengarai bahwa kota Syene di Mesir terletak di equator, dimana matahari bersinar vertikal tepat di atas sumur pada hari pertama musim panas. Eratoshenes mengamati fenomena ini tidak dari rumahnya, dia menyimpulkan bahwa matahari tidak akan pernah mencapai zenith di atas rumahnya di Alexandria yang berjarak 7° dari Syene.

Jarak Alexandria dan Syene adalah 7/360 atau 1/50 dari lingkaran bumi yang dianggap lingkaran penuh adalah 360°. Jarak antara Syene sampai Alexandria +/- 5000 stade. Dengan dasar itu dibut prakiraan bahwa diameter bumi berkisar:

50 x 5000 stade = 25.000 stade = 42.000 Km.

Pengukuran tentang diameter bumi diketahui adalah 40.000 km. Ternyata, astronomer jaman kuno juga tidak kalah cerdasnya, dengan deviasi kurang dari 5%.



Sumbangsih

Prinsip-prinsip fisika dan matematika diaplikasikan oleh Archimedes baik untuk tujuan “mulia” – pompa ulir, untuk mengangkat air dari tempat yang lebih rendah maupun untuk tujuan perang. Memang tidak dapat dihindari bahwa suatu penemuan biasanya akan dipicu oleh suatu kebutuhan mendesak. Cermin pembakar, derek (crane) untuk melontarkan panah dan batu atau menenggelamkan kapal adalah penguasaan fisika Archimedes yang dapat dikatakan luar biasa pada jamannya.

Kontribusi penghitungan Л (pi) dari Archimedes barangkali dapat disebut sebagai awal bagi para pengikut untuk meniru metode yang dipakai untuk menghitung luas lingkaran. Terus memperbanyak jumlah segi enam untuk menghitung besaran Л (pi) mengilhami para matematikawan berikutnya bahwa adanya suatu ketidakhinggaan - seperti paradoks Zeno, dimana hal ini mendorong penemuan kalkulus.

Apollonius

Apollonius yang menjadi matematikawan lahir di Perga, Pamphylia yang sekarang dikenal dengan sebutan Murtina atau Murtana, terletak di Antalya, Turki. Pada jaman itu, Perga adalah pusat kebudayaan dan lokasi kuil Artemis, dewi alam. Saat muda usia Apollonius pergi ke Alexandria dimana dia belajar di bawah bimbingan para pengikut Euclid sebelum mengajar di sana. Kemudian, Apollonius pergi ke Pergamun di mana di sana terdapat universitas dan perpustakaan besar untuk menyaingi perpustakaan besar di Alexandria sedang dalam tahap pembangunan. Pergamum saat ini tidak lain merupakan nama lain dari kota Bergama terletak pada propinsi Izmir di Turki, adalah kota Yunani kuno. Dengan lokasi pada 25 km dari laut Aegean pada perbukitan sebelah utara lembah sungai Caicus (sekarang disebut dengan sungai Bakir).


Di Pergemum, Apollonius bertemu dengan Eudemus yang menulis buku Sejarah Geometri (Hystory of Geometry) dan Attalus, yang diperkirakan adalah Raja Attalus I dari Pergamum. Prakiraan ini diawali dari kata pengantar buku Apollonius yang menunjukkan rasa hormat dan sembah takzim kepada Attalus.



Karya-karya yang hilang

Karya-karya Apollonius banyak yang hilang. Skema bilangan dari Apollonius barangkali adalah salah satu yang terselamatkan dari bagian terakhir buku II berjudul Kumpulan Matematikal (Mathematical Collections) dari Pappus (Semua buku I dan awal buku II hilang). Apollonius juga menulis Cara Cepat (Quick Delivery) yang berisikan pengajaran tentang tip-tip atau teknik-teknik penghitungan cepat. Diketahui bahwa karya-karya Apollonius yang hilang seperti: penjabaran nisbah/ratio (Cutting-off Ratio); penjabaran luas (cutting-off of an area); seksi penentu (On Determinate Section); Tangen; titik potong (vergings) dan Plane Loci. *

Dari gambaran yang ditulis dari karya-karya Pappus dan para pendahulunya, muncul gagasan, pada abad ke-17, untuk merekonstruksi buku-buku geometri karya matematikawan Yunani kuno yang hilang, dimana makalah karya Apollonius adalah salah satu diantaranya. Kelak karya Apollonius ditemukan oleh para bangsawan Perancis (termasuk Fermat) pada abad 17 yang memberi pengaruh besar bagi para matematikawan Perancis pada umumnya dan Fermat pada khususnya.



Karya puncak, Conics (kerucut)

Buku pertama Conics (kerucut) membahas segala sesuatu tentang hal-hal mendasar tentang kurva-kurva yang disebut “paling lengkap dan lebih umum dibanding pengarang-pengarang lain.” Dalam buku ini pula disebutkan theorema dan transformasi koordinat dari sistem yang didasarkan pada tangen dan diameter pada titik P yang berada pada kerucut ke dalam sistem baru yang ditentukan oleh tangen dan diameter dari titik Q yang berada pada kurva yang sama. Apollonius sangat mengenal karakteristik hiperbola dengan asimtut sebagai absisnya. Persamaan xy = c2 adalah hiperbola sama sisi yang mirip dengan rumus hukum Boyle tantang gas.

Buku kedua melanjutkan bahasan tentang tangen dan diameter. Dengan menggunakan proposisi-proposisi dan gambar-gambar kurva.

Buku ketiga disebut oleh Apollonius yang paling membanggakan dirinya karena disebutkan berisi theorema-theorema yang bermanfaat untuk melakukan (operasi) sintesis dan solid loci penentuan limit. Disebutkan olehnya bahwa Euclid belum menyinggung topik ini. Locus tiga dan empat garis memegang peran penting dalam matematika sejak Euclid sampai Newton.

Buku keempat menggambarkan keinginan pengarangnya untuk menunjukkan “Berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan.” Ide tentang hiperbola dua cabang yang berlawanan arah adalah gagasan Apollonius.

Buku kelima berhubungan dengan maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut.

Pada saat buku ini dibuat, tidak pernah terpikirkan bahwa akan konsep-konsep didalamnya mendasari dinamika bumi (terrestial) dan mekanika alam semesta (celestial). Tanpa pengetahuan tentang tangen terhadap parabola mustahil analisis terhadap lintasan peluru tidaklah dimungkinkan.

Buku keenam, berisikan proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Terdapat satu proposisi yang membuktikan bahwa apabila sebuah kerucut dipotong oleh dua garis sejajar terjadilah bagian-bagian hiperbolik dan eliptik, bagian yang mirip namun tidak sama.

Buku ketujuh kembali membicarakan tentang mentasrifkan (conjungate) diameter-diameter dan berbagai “proposisi-proposisi baru” yang membahas diameter dari bagian-bagian kerucut.



Asal-usul nama

Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius (barangkali melanjutkan penamaan Archimedes) mengenalkan kata elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah “elips”, “parabola”, dan “hiperbola” bukanlah penemuan Achimedes maupun Apollonius; mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Elips berarti kurang atau tidak sempurna digunakan untuk memberi nama apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya kurang. Hiperbola yang artinya kelebihan dipakai apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya lebih. Parabola yang artinya di samping atau pembanding) tidak mengindikasikan lebih atau kurang. Apollonius menggunakan ketiga istilah di atas dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.





* Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.



Sumbangsih

Konsep parabola, hiperbola dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Buku Newton Principia memberi harapan orang melakukan perjalanan ke luar angkasa. Baru tahun 1960-an, keinginan itu terlaksana karena pemahaman konsep minima, maksima dan tangen dari Apollonius. Karya Apollonius kelak digeneralisasikan oleh Descartes - setelah ada “sentuhan” Pappus, untuk menguji geometri analitik. Tema seperti buku teks dan bahasan yang mendalam dan rinci mamberi inspirasi bagi perkembangan matematika abad-abad berikutnya


Fibonacci (1170 – 1250)

Riwayat

Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.



Mengarang buku

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.



Problem kelinci

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.



“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”



- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.

- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.

- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.

- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.

Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.

Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.



Deret Fibonacci

Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.

Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Rene Descartes

Masa kecil

Dua belas tahun setelah meninggalnya Cardano, lahirlah anak dari sebuah keluarga terpandang di Perancis, Rene Descartes. Ibunya, Jeanne Brichard, meninggal beberapa hari setelah melahirkan dan bayinya pun dalam kondisi lemah. Bayi ini tumbuh meskipun dengan wajah pucat, menderita batuk kering turunan ibunya – barangkali indikasi TBC.

Mempunyai dua kakak – laki dan perempuan – setelah ayahnya menikah lagi. Descartes muda tidak banyak mempunyai teman. Barangkali kurang dari enam orang, tetapi semuanya adalah sahabat setianya. Pergaulan paling dekat justru dengan inang pengasuh dan beberapa wanita tetangganya.

Pendiam dan memberi kesan seorang “kutu buku” sehingga ayahnya menjulukinya dengan sebutan “filsuf.” Anak kecil serius ini pada umur sepuluh tahun dikirim ke sekolah Jesuit di La Fleche yang terkenal di seluruh Eropa. Salah satu teman akrab Descartes adalah Mersenne. Kelak Mersenne ini selalu diberitahu Descates tinggal, karena Descartes senang menyepi, tidak mau diganggu dan mengarang tentang topik-topik kesenangannya. Di sekolah ini Descartes belajar logika, etika, metafisik, sejarah dan ilmu pengetahuan sebelum belajar aljabar dan geometri tanpa guru.



Menjadi objek penelitian

Ketika mendaftar di sekolah La Fleche, rektor sekolah itu, Pastor Charlet, menyukai anak kecil berwajah pucat ini karena dapat dijadikan obyek penelitian. Pastor ini mengemukakan hipotesis bahwa ada hubungan erat antara tubuh [body] dan pikiran [mind]. Untuk itu Pastor kepala ini berusaha memperbesar tubuh anak ini, memberi pendidikan dan bimbingan untuk mengasah pikirannya. Melihat bahwa anak kecil ini perlu banyak istirahat, maka Pastor kepala ini memberi “jatah” istirahat kepada Descartes lebih dari yang lain. Dengan rekomendasinya, Descartes kecil diperkenankan tidur selama dia mau, bangun sesuka hati dan tidak perlu disiplin hadir seperti halnya teman-teman lainnya. Tidak lah mengherankan bahwa hampir setiap pagi, seumur hidup Descartes, waktunya dihabiskan di tempat tidur saat dia perlu berpikir. Akan selalu dikenang bahwa pagi yang tenang dan sedikit meditasi adalah sumber inspirasi bagi filsafat dan matematika. Akar filsafat yang didasari oleh skeptikisme rasional membuat dia menyatakan “Cogito ergo sum” (Saya berpikir, maka saya ada).

Pelajaran bahasa Latin, Yunani dan bahasa-bahasa negara Eropa lainnya diperoleh selama sekolah. Lulus dengan pesan dari para guru-gurunya bahwa sekarang dia memasuki dunia nyata. Persahabatan dengan Pastor Charlet tetap terjalin bahkan akhirnya terjalin persahabatan abadi antar dua manusia beda generasi ini.



Berjudi

Kembali ke rumah pada umur 18 tahun yang menyatakan bahwa semua yang dipelajarinya adalah sampah tanpa guna. Menikmati waktu beberapa bulan, pulang menengok keluarga sambil belajar anggar dan berkuda sebelum kembali berkemas guna masuk universitas Poiters dengan pilihan studi bidang hukum. Ayahnya sebagai seorang pengacara merasa senang sekali karena mempunyai harapan bahwa kelak ada yang bakal meneruskan profesinya. Dua tahun kemudian Descartes lulus, tapi justru ingin berpetualang. Pergi ke Paris dan selama beberapa bulan berjudi. Tidak lama dia mengajukan bea siswa untuk mempelajari matematika. Selama dua tahun, dengan tekun dia belajar matematika di tempat tidur sambil mata menerawang memandang. Kebiasaan lama – di La Fleche - menghabiskan lebih banyak waktu di tempat tidur, membuat dia baru mendusin di atas jam 11.00. Menghina dosen dan menuruti keinginannya sendiri adalah rutinitas bagi dirinya.



Menjadi Prajurit & Berperang

Masih berjudi meskipun dalam beberapa kesempatan sering menang, tapi lebih banyak kalah. Ditambah masih tetap bangun siang membuat hidup Descartes terpuruk. Dalam suatu kesempatan dia bertemu dengan sobat kentalnya. Dikatakan bahwa Descartes harus melihat sisi lain dari kehidupan dengan cara menjadi prajurit. Pada ulang tahunnya ke-22, Descartes menjadi prajurit Pangeran Maurice dari Orange dan dikirim ke kota kecil di Belanda, Breda. Tidak puas dengan tindak-tunduk dan tindakan yang sesuai dengan harapannya, Descartes dengan penuh gerutu kembali ke kemah dan kembali ke Paris sebelum berangkat ke Jerman. Pada saat karir, tubuhnya menunjukkan gejala tidak sehat lain seiring dengan umur makin bertambah. Terus mencari kesempatan sampai akhirnya dia sampai di Frankfurt, dimana belum lama raja Ferdinand II naik tahta. Darah prajuritnya bergolak melihat pawai kerajaan. Tidak lama Descartes, mendaftarkan dirinya kembali sebagai prajurit Bavaria yang tidak lama kemudian mencetuskan perang dengan Bohemia. Saat musim dingin tiba, tidak ada perang, Descartes mempunyai banyak waktu untuk kembali merenung dan mencari jati diri.

Diceritakan bahwa dia bermimpi, tiga kali bermimpi. Pertama, dia dibawa terbang oleh angin jahat dari gereja atau sekolahnya sampai ke suatu tempat dimana angin itu kemudian kehilangan kekuatannya; kedua, dia menyaksikan hujan badai disertai guntur yang sangat menakutkan tetapi tidak mencederai dirinya; ketiga, dia bermimpi membaca kamus dengan awal berisikan puisi Ausonius dengan kalimat pembuka, “Quod vitae secatabor iter?” [Jalan kehidupan apa yang harus kutempuh?]

Meskipun bukunya sudah terbit, Descartes tetap menjadi prajurit. Pada tahun 1619, meskipun setengah dari pasukannya terbunuh dalam pertempuran di Prague, dia selamat. Terus berperang, sampai akhirnya dia memenangkan pertempuran pada tahun 1620, dan memasuki kota untuk menangkap para tawanan. Salah satu tawanannya adalah Ratu Elisabeth * yang saat itu masih berusia empat tahun.

Kemenangan perang memberinya banyak uang. Tidak pulang ke Perancis karena saat itu dilanda epidemi dan ada perang Huguenot sehingga tanpa daya tarik. Eropa bagian utara tenang dan bersih dan Desartes pergi ke sana. Di sini, dia kembali mendapatkan keberuntungan. Dalam suatu perjalanan naik perahu, semua awak perahu berniat merampok, membunuh, dan membuang mereka ke laut. Mereka tidak menyadari bahwa Descartes memahami bahasa mereka, sehingga dengan mengacungkan pedangnya Descartes menyuruh mereka mendayung balik. Kelahiran kembali geometri kembali terselamatkan.



Filsafat Descartes

Ketiga mimpi yang dialami Descartes membuat dia berupaya menafsirkan bahwa: dia sudah menjelajah dunia [di bawa angin], dihadang kekuatan besar yang tidak dapat dikendalikan [angin] tapi tidak mencederainya dan dia sekarang ada pada persimpangan jalan kehidupan yang harus dia pilih [Jalan kehidupan apa yang harus kutempuh]. Guntur adalah peringatan baginya bahwa jangan sampai terlambat dan kamus menunjuk bahwa dia harus menekuni ilu pengetahuan. Mencari kebenaran adalah karir pilihan baginya. Hal ini sesuai dengan pernyataan yang ditulis pada buku harian, “Saya mulai memahami dasar-dasar penemuan spektakuler … Semua sains saling terkait seperti rantai.” Semua sains terhubung sama halnya theorema geometri menyebabkan dia mengemban tugas berat untuk menemukan hubungan-hubungan dan mata-rantai mata-rantai dalam pencarian alasan. Descartes bertekad untuk mengembangkan matematika dan filsafat. Pendekatan untuk memahami kedua topik di atas didasari pada ketentuan-ketentuan sbb.:

1. Tidak akan/jangan pernah menerima kebenaran dimana saya tidak benar-benar memahaminya.

2. Bagilah setiap kesulitan-kesulitan ke dalam kategori tertentu menjadi bagian-bagian kecil apabila memungkinkan.

3. Mulailah penyelesaian dari yang sederhana dan mudah sebelum menuju ke jenjang yang lebih kompleks.

4. Buatlah dengan cermat dan periksa secara menyeluruh sampai merasa yakin tidak ada yang diabaikan.



Bertemu Isaac Beeckman

Pada suatu kesempatan, di Breda, ketika dia berjalan-jalan, dilihatnya kerumunan orang dan Descartes yang diliputi rasa ingin tahu datang menghampiri. Di tengah kerumunan berdiri orang tua yang menantang siapa pun yang dapat memecahkan problem matematika. Memecahkan problem itu mudah baginya namun mengalami hambatan bahasa membuat Descartes berteriak-teriak mencari orang yang dapat menterjemahkan bahasa ibunya – Perancis, ke dalam bahasa Belanda. Muncul seorang lelaki setengah baya dengan senang hati menawarkan jasanya. Penterjemah itu tidak lain adalah Isaac Beeckman, matematikawan terkemuka Belanda saat itu, menyatakan bahwa problem matematika tersebut terlalu mudah karena langsung dapat dipecahkan. Beeckman heran, seorang prajurit dapat memecahkan problem matematika pastilah bukan prajurit biasa. Mereka saling berkenalan dan sejak saat itu Isaac Beeckman menjadi teman sekaligus pembimbing Descartes. Atas anjuran Beeckman pula lah, Descartes mau menekuni matematika kembali. Untuk memancing minat akan matematika, Descartes diberi tugas memecahkan problem termasuk menemukan hukum kecepatan jatuhnya benda yang sudah dirintis oleh Galileo. Galileo menemukan bahwa kecepatan jatuhnya benda adalah 32t kaki per detik kuadrat, di mana t adalah jumlah detik. Untuk ukuran ilmu pengetahuan, kecepatan itu dianggap terlalu lamban dan tidak efisien.



Kartesian

Pengaruh Beeckman terhadap Descartes sangat besar sehingga sering disebutnya dengan “Ayah spiritual sekaligus sumber inspirasi terhadap minat belajarku.” Dia membuat komitmen untuk menjadi perintis bidang matematika baru. Empat bulan setelah insiden pertemuan itu, Descartes melaporkan kepada Beeckman tentang penemuannya, cara baru mempelajari geometri. Setelah bertahun-tahun dihantui dengan metode-metode ahli-ahli geometri Yunani. “Tampaknya tidak ada sistem yang mampu memecahkan cara pembuktian jenius mereka [orang Yunani] kecuali diperoleh kelelahan luar biasa karena mencoba mencitrakannya.” Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal - diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif.

Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sessuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y. Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 2 dan 3 menunjuk 2 satuan ukuran pada sumbu x dan 3 satuan ukuran [yang identik] pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (2,3).

Apabila ada 2 orang pelari dengan kecepatan yang sama tapi satu pelari telah berada pada jarak 1 meter sedangkan jarak yang harus ditempuh 10 meter. Dengan mengandaikan y selalu di muka 1 unit dibandingkan x, maka dapat ditulis persamaan, y = x + 1 atau x – y + 1 = 0. Setelah lama “bermain” dengan garis-garis akhirnya Descartes menemukan bahwa semua garis lurus mempunyai persamaan umum: ax + by + c = 0, dimana a, b dan c adalah konstanta. Semua garis lurus dapat dijabarkan ke dalam satu macam persamaan aljabar.

Persamaan di atas, y = x + 1 [lihat: gambar 1] dapat disimulasikan dengan tabel di bawah ini sebelum semua titik-titik itu dihubungkan menjadi sebuah garis lurus.



Titik A B C D E F

y 2 3 4 5 6 7

x 1 2 3 4 5 6



Saat dia mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras, pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r². Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran. Bentuk-bentuk lain seperti – ellips, hiperbola, parabola – juga mempunyai fungsi yang lazim disebut dengan persamaan tingkat kedua (kuadrat), sedangkan fungsi untuk garis lurus disebut dengan persamaan tingkat pertama (linier). **





Damai di masa tua

Sejak 1641, Descartes tinggal di desa kecil dekat Hague di negara Belanda bersama dengan putri Elisabeth (beserta ibunya) dan yang sekarang sudah remaja dan bersikeras untuk terus belajar. Merujuk ke belakang, hal itu diawali oleh kejeniusan Elisabeth mampu menguasai enam bahasa sebelum melalap semua literatur matematika dan sains. Salah satu dugaan bahwa putri ini patah hati sehingga mengabdikan dirinya pada ilmu. Saat dia membaca buku Descartes, keingintahuan tentang matematika timbul dan mengundang Descates dengan surat berisi kesediaannya menjadi guru.

Tahun 1646, Descartes menikmati kehidupan sederhana di Egmond, Belanda. Meditasi, berkebun dan melakukan korespondensi dengan ilmuwan-ilmuwan terkemuka Eropa adalah aktivitas sehari-hari. Dia tetap berpikir tentang matematika, terutama paradoks Achilles dan kura-kura, yang terlalu sulit dipecahkan pada saat itu. Sebelumnya dia memohon pensiun dari Raja Perancis, dengan syarat dia akan pulang dan tinggal di tanah kelahirannya. Permohonan Descartes disetujui, namun begitu dia datang ke istana, semua mata hadirin tertuju kepadanya seperti memandang orang asing dan tak seorangpun dari mereka tahu tentang permohonan pensiunnya. Mengetahui kenyataan itu, Descartes langsung kembali ke Egmond.



Meninggal di Swedia

Ratu Christine dari Swedia, yang mengagumi Descartes, beberapa tahun sebelumnya, memohon agar Descartes tinggal di istananya, tapi tidak ditanggapi. Putri yang selalu ingin belajar filsafat ini melalap hampir semua buku filsafat. Putri berumur 19 tahun ini akhirnya mengalami kesulitan saat berusaha memahami filsafat Descartes. Tidak ada pakar atau filsuf di lingkungan istana yang mampu menjelaskan. Dia harus mengundang sendiri pencetus filsafat itu. Descartes yang merasa sudah nyaman tinggal di Egmond, merasa mendapat kehormatan ketika Admiral Fleming datang menjemputnya. Terpekur dia memandangi kebun kecil yang setiap hari dirawatnya sebelum meninggalkan Egmond untuk selamanya,

Kagum dengan kemauan keras sang ratu belajar filsafat, sampai kepalanya tidak bergerak saat membaca buku dan lupa waktu. Pelajaran dimulai pukul 5 dini hari. Hawa dingin dan radang paru yang diidap Descartes sebenarnya tidak cocok tinggal di Swedia. Kenangan saat di La Fleche, setiap pagi hari saat dia masih tidur dipandangi oleh Pastor Charlet membuat dia betah di Swedia meski terus merindukan Egmond. Awal tahun 1650, radang parunya kambuh dan tanggal 11 Februari 1650, Descares meninggal dan mewariskan filsafat pada seorang ratu. Tujuh belas tahun kemudian, saat Christine diangkat menjadi ratu, tulang belulang Descartes dibawa pulang ke Perancis, setelah ada konflik kecil yang menyebutkan bahwa Descartes tetaplah warga Perancis. Tidak lama setelah itu buku-buku karangan Descartes masuk ke dalam Index, daftar buku yang disusun oleh gereja di bawah pimpinan Kardinal Richelieu ***, karena dianggap buku-buku tersebut mampu memberi pencerahan baginya.



* Kelak akan menjadi murid kesayangan Descartes.

** Apabila titik pusat lingkaran tidak pada titik (0,0), misal pada titik (2,3) maka fungsi lingkaran dapat dicari dengan rumus (x-2)² + (y-3)² = r²; Fungsi parabola y² = 2px dengan pucak parabola pada titik (0,0); fungsi ellips : x²/a² + y²/b² = 1 dengan pusat ellips ada pada titik (0,0); fungsi hiperbola: x²/a² - y²/b² = 1 dengan pusat hiperbola pada titik (0,0)

*** Barangkali pembaca merasa tidak asing dengan nama ini. Novel ‘Three Musketeers’ dari Alexander Dumas mengambil latar belakang dan tokoh-tokoh jaman ini. Nama Kardinal ini juga akan muncul pada riwayat Blaise Pascal.





Sumbangsih

Menghubungkan aljabar dengan geometri barangkali adalah karya besar Descartes. Suatu persamaan aljabar dapat diekspresikan ke dalam bentuk geometri. Bentuk lingkaran, elips, hiperbola, parabola dapat diekspresikan dalam persamaan-persamaan aljabar. Ditambah dengan sistem Kartesian (menggambar dalam potongan sumbu x dan sumbu y – pada titik (0,0) yang membentuk 4 kuadran memudahkan para matematikawan mengformulasikan hal-hal yang selama ini merupakan obyek-obyek yang kasat mata menjadi nyata.

Peranan Descartes dalam filsafat juga layak ditonjolkan. Lewat “aksioma-aksioma”, Descartes meletakkan fondasi atau pilar bagi pengembangan matematika di kemudian hari oleh matematikawan lain. Seperti ucapan Newton – yang terkenal, “Saya berdiri di pundak raksasa.” menunjuk pencapaian Newton tidak lepas dari peran raksasa itu. Salah satu raksasa itu adalah Descartes. (Raksasa lain adalah Galileo dan Kepler).

Belajar Matematika dengan Menyenangkan

Kita tentu sudah memahami bahwa dalam proses belajar kadang terjadi kejenuhan yang membuat para peserta didik menjadi tidak semangat, hilang konsentrasi, bahkan ada yang merasa bosan sampai merasa malas mengikuti sebuah proses pembelajaran. Ini sering terjadi pada mata pelajaran yang membutuhkan konsetrasi dan fisik yang baik. Guru memberikan materi pelajaran tanpa memperhatikan bagaimana kondisi peserta didik dan suasana kelas. Peserta didik dipaksa menerima semua materi tanpa diberikan kesempatan memikirkan, tidak diberi ruang untuk berekspresi, bahkan yang lebih memprihatinkan peserta didik seperti disuapi tanpa ditanya tentang perasaan mereka. Inilah cermin pendidikan kita yang terlalu mengejar sebuah target lulus KKM, masuk jurusan IPA, lulus UJIAN NASIONAL, bahkan lulus UJIAN MANDIRI tanpa memperhatikan apakah pelajaran ini bermakna bagi para peserta didik.


Target yang terlalu dikejar tanpa perencanaan dan pengelolaan pembelajaran yang baik akan mematikan kreativitas peserta didik untuk berekspresi, untuk memahami apa guna materi pelajaran ini, bahkan peserta didik tidak tahu kenapa mereka harus belajar materi ini.

Mungkin sudah saatnya pengejaran target ini kita harus padukan dengan apa tujuan belajar yang sudah kita pahami selama ini dari buku – buku teori pendidikan, dari hadist Nabi, bahkan dari petuah para pendidik macam KI HAJAR DEWANTARA. Jadi selain target tercapai, para peserta didik mendapatkan kebermaknaan dalam belajar. Yang pasti kita semua pasti berharap para peserta didik tidak hanya hafal secara teori tapi dapat mempraktekkannya pada kehidupan yang nyata.

Ayolah… kita semua harus berubah demi kemajuan pendidikan INDONESIA yang kita cintai, jangan sampai apa yang kita perjuangkan selama ini menjadi sia – sia. Memang tidak sepenuhnya kita gagal, bahkan kita sering menjadi yang terbaik dalam olimpiade. Tapi lihatlah para juara OLIMPIADE kita, mereka meneruskan dimana? Terus akhirnya bekerja di mana? Sedih banget rasanya…

Salah satu mata pelajaran selalu menjadi bidikan kesalahan adalah pelajaran matematika. Pada umumnya semua mata pelajaran bermuara pada satu prinsip, yaitu berpikir logika. Dalam matematika prinsip berpikir logika ini sangat dibutuhkan, bahkan menjadi pondasi utama dalam memahami tiap materi yang diajarkan. Tidak ada satupun materi dalam matematika yang terpisah dan tidak berhubungan. Tiap materi yang dipelajari akan menjadi prasyarat bagi materi selanjutnya. Jadi kalau kita hanya mengandalkan daya ingat atau hafalan saja, sudah pasti akan membuat kelelahan pada otak kita sehingga kita akan mengalami ketidakbermaknaan dalam belajar.

Terus gimana caranya agar belajar matematika itu menyenangkan?? Mungkin ini tips untuk para guru agar dapat membuat peserta didik mendapatkan kebermaknaan dalam belajar di sekolah.

1. Perencanaan mengajar yang matang

Para pendidik dalam hal ini guru di sekolah harus mau meluangkan waktu untuk membuat persiapan dalam mengajar. Memang pada dasarnya itu adalah merupakan kewajiban atau tugas dari seorang guru, tapi kadang para guru tidak mempersiapkan apa yang akan diajarkannya sehingga apa yang diperbuatnya seringkali adalah spontanitas di lapangan. Rencana pelaksanaan pengajaran jangan sampai dibuat hanya untuk memenuhi kewajiban saja tanpa dibuat dengan sungguh – sungguh dengan memperhatikan dan mengkoreksi apa kelebihan dan kekurangan yang telah kita lakukan. Sekali lagi sebelum masuk kelas dan berhadapan dengan peserta didik, guru harus mempunyai persiapan yang matang. Ingatlah ” Kemenangan dalam suatu perang bukan dilihat pada saat perangnya tetapi dilihat dari persiapannya”

2. Matematika bukanlah pelajaran hafalan

Ini harus dilakukan oleh para guru!!! Matematika bukan hafalan dan hafalan bukan inti matematika. Matematika adalah pelajaran yang menyenangkan dan membuat logika berpikir kita baik. Tanamkan hal itu pada peserta didik kita sehingga phobia yang mungkin pernah mereka alami dapat kita kikis.

3. Siapkan Narasi dan pengetahuan tentang materi yang diajarkan

Mengajar pada intinya adalah bercerita tentang suatu materi. Lalu bagaimana kita dapat memberikan pelajaran yang menyenangkan kepada peserta didik kalau kita saja tidak dapat menceritakan tentang materi yang akan kita ajarkan. Jangan sampai kita selalu masuk pada inti pelajaran dengan memberikan rumus – rumus dan poin – poin saja, jelas ini sangat membosankan. Berikan narasi atau analog dalam menjelaskan materi pelajaran, sehingga para siswa dapat menghubungkannya dengan pengetahuan sebelumnya. Para guru juga harus mampu memberikan gambaran tentang manfaat dan kegunaan tiap materi dalam kehidupan sehari – hari, sehingga para siswa dapat membayangkannya jika mereka mampu menguasai materi ini mereka akan menjadi apa.

4. Perhatikan suasana kelas

Kadang kita memulai pelajaran di kelas dengan amat tergesa – gesa karena mungkin kita merasa harus mengejar target materi ini harus selesai dalam berapa kali pertemuan tanpa memperhatikan kondisi kelas yang kita masuki. Perhatikanlah kelas yang kita masuki dengan melihat sekeliling kelas, apakah para peserta didik sudah masuk semua? Apakah para peserta didik sudah siap belajar? Apakah kelas dalam keadaan bersih? Atau apapun yang menurut kita dapat mengganggu proses belajar mengajar harus kita singkirkan dulu, sehingga apa pada pelaksanaannya nanti tidak akan ada faktor yang menghambat. Berilah pertanyaan kepada para peserta didik, apakah sudah siap belajar? Apa kabarnya hari ini? Jadi sudah ada komunikasi yang baik sebelum pelajaran dimulai.

5. Jadilah guru yang tidak menggurui

Setiap manusia punya potensi, punya kemampuan, punya keinginan, dan punya ekspresi masing – masing terhadap hal. Kita harus pahami bahwa peserta didik kita itu adalah manusia – manusia yang unik dengan tingkat kemampuan, pemahaman, dan keinginan yang pasti berbeda – beda. Berikan mereka kesempatan berekspresi dalam pelajaran kita dengan memberikan komentar, pertanyaan, bahkan sanggahan sekalipun. Dengarkan dan perhatikanlah apa yang mereka sampaikan dan ekspresikan terhadap materi yang kita ajarkan, sehingga kita dapat menghindari bahwa kita adalah manusia yang paling pintar di kelas tersebut. Hindari keinginan untuk menggurui mereka agar mereka dapat memberikan respon positif terhadap materi yang kita sampaikan

6. Berikan pemikiran positif pada peserta didik

Kamu itu punya kemampuan! Sedikit lagi jawaban kamu benar! Itu mungkin kata yang sering kita lupakan. Kadang jika peserta didik kurang memahami, kita menganggap mereka tidak bisa tanpa memberikan semangat yang positif. Kita jatuhkan mereka ke dalam perasaan bersalah karena tidak paham atas apa yang sedang dibicarakan, kita hancurkan keinginan mereka tanpa melihat usaha mereka memahami. Pacu semangat mereka dengan kata – kata positif yang akan membangun kekuatan besar dalam hati dan pikir mereka, sehingga mereka merasa mempunyai kemampuan untuk memahaminya